/**
 * 最小路径和
 *
 * 给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
 * 说明：每次只能向下或者向右移动一步。
 *
 * 示例 1：
 * 输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
 * 输出：7
 * 解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
 *
 * 示例 2：
 * 输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
 * 输出：12
 *
 * 提示：
 * m == grid.length
 * n == grid[i].length
 * 1 <= m, n <= 200
 * 0 <= grid[i][j] <= 200
 */

/**
 * 要我们求从头到最后的最短路径, 动态规划 : dp[i][j] : 两个相邻的最小值, 在加上这个地方的值, 就是
 * 到达这个位置的最小值, 所以依旧是动态规划
 * 时间复杂度 : O(n ^ 2)
 * 空间复杂度 : O(n ^ 2)
 */

public class Main {
    public int minPathSum(int[][] grid) {

        // 矩阵边长
        int m = grid.length, n = grid[0].length;

        // dp
        int[][] dp = new int[m][n];

        // 初始化, 这里的初始化我们要将第一排和第一列的值原原本本的复制进 dp 中
        // 并且也不用注意下标的作用关系的

        // 第一个位置单独出啦初始化, 防止下标越界
        dp[0][0] = grid[0][0];

        // 初始化第一列
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i - 1][0];
        }

        // 初始化第一排
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[0][j] = grid[0][j] + dp[0][j - 1];
        }

        // 我们直接从第二排和第二列开始赋值
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {

                // 转态转移方程
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }

        // 返回右下角的值
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}